Cách tính ma trận nghịch đảo

Share:
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được Hotline là ma trận đơn vị trường hợp A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp cho n

Ta phân biệt ma trận trên là trường tồn. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cung cấp n


Bên cạnh đó, ma trận đơn vị chức năng là nhất. Thật vậy, trả sử tất cả hai ma trận đơn vị chức năng I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị yêu cầu I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị chức năng đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như mãi mãi một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc đó, B được call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.

Bạn đang đọc: Cách tính ma trận nghịch đảo

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là độc nhất, bởi mang sử trường thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện thời, có khá nhiều giáo trình quốc tế vẫn đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, đến A là ma trận cấp cho m x n bên trên trường số K. lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như vĩnh cửu ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, dĩ nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái cùng khả nghịch cần.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập thích hợp những ma trận vuông cung cấp n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch bởi với đa số ma trận vuông cung cấp 2 ta các có:

*
Nhận xét: Ma trận có tối thiểu 1 loại không (hoặc cột không) hồ hết ko khả nghịch.

Xem thêm: Ghim Trên Bảng Ngọc Lucian Mùa 8, Bảng Ngọc Lucian

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh công dụng trên nhé)

3. Mối tình dục giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cấp dòng (cột) trường hợp E chiếm được từ bỏ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phnghiền chuyển đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho loại tốt cột Gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cái (xuất xắc cột) hầu hết khả nghịch và nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong những ma trận sơ cấp chiếc.

Ta hoàn toàn có thể khám nghiệm thẳng hiệu quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, những xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được tự A bởi vì một vài hữu hạn những phnghiền biến đổi sơ cấp chiếc (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý Khách gọi rất có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc kia, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc và chỉ lúc dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ bỏ A vị một số trong những hữu hạn các phxay đổi khác sơ cấp loại (cột); mặt khác, bao gồm dãy các phxay biến hóa sơ cấp cho mẫu (cột) đó sẽ đổi mới In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch đảo bằng phép chuyển đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để search nghịch hòn đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cấp cho n bên trên K. Thuật tân oán này được phát hành dựa vào tác dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta triển khai quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng phương pháp ghnghiền thêm ma trận đơn vị chức năng cấp cho n I vào bên nên ma trận A


*

Lập ma trận đưa ra khối cung cấp n x 2n


Cách 2: Dùng những phép biến hóa sơ cấp cho dòng để lấy < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là một ma trận bậc thang chủ yếu tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình đổi khác nếu như A’ mở ra tối thiểu 1 loại ko thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không nhất thiết phải gửi A’ về dạng chính tắc) với dứt thuật tân oán.

lấy ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của:

Bài viết liên quan